A proposito di termodinamica

  1. Ignis mutat res : Newton prende fuoco.

fisici

 

«Ora, improvvisamente, nel corso del XIX secolo, si crea una piccola sacca di disordine nel cuore stesso dell’ordine fisico. Dapprima confinata nell’isolamento, alimentandosi solamente di gas, essa diventa onnivora, dilaga a poco a poco, fino a minacciare tutto l’Universo. Essa rosicchia ciò che è diventato il motore invariante della fisica e il termine chiave dell’era industriale: l’energia»[1].

Non era toccato solo a Kant[2]. Tra la fine dell’Ottocento e l’inizio del Novecento, anche Newton e la meccanica classica presero fuoco, in quanto nel mondo in cui vigeva «la morte di freddo, la rigidità cadaverica, un paesaggio lunare, una epidemia geometrica»[3] si diffuse il disordine dovuto al calore.

Nel 1807 «in singolare coincidenza  con la pubblicazione  della Fenomenologia dello spirito»[4] Fourier elaborò le prime  riflessioni sul calore: il flusso di calore tra corpi è proporzionale al gradiente di temperatura. La legge di Fourier è valida per tutti gli stati della materia (solido, liquido e gassoso) e rimane valida indipendentemente dalla composizione chimica del corpo considerato, perché è solamente il coefficiente di proporzionalità tra flusso di calore e gradiente di temperatura a mutare da sostanza a sostanza. In tal modo, Fourier scoprì un’altra legge universale, oltre la gravitazione, che non poteva essere spiegata attraverso le leggi meccaniche; era la sconfitta di Laplace, che aveva manifestato la dogmatica certezza che  non esistessero aspetti della natura non interpretabili e conoscibili attraverso le leggi della meccanica[5]. Fourier sosteneva, invece, che la meccanica e la termodinamica costituivano due scienze reciprocamente autonome, il cui distacco era determinato dal fatto che la trasmissione del calore costituiva il primo esempio di processo irreversibile, perché implicava una direzione privilegiata del tempo. «Questo aspetto si contrappone alla simmetria delle leggi della dinamica newtoniana, in cui passato e futuro svolgono lo stesso ruolo (il tempo in effetti compare nelle leggi di Newton, ma attraverso una derivata seconda, il che rende le leggi invarianti sotto la trasformazione t– t[6]. Da ciò scaturivano problemi tanto gnoseologici quanto ontologici. Riguardo ai primi risultava una inapplicabilità di modelli teorici legati alla meccanica, quindi totalmente reversibili, su fenomeni che si sviluppavano in direzione irreversibile; riguardo i secondi, fu Clausius che completò nel 1865 la formulazione dei due principi della termodinamica che assumeva di fatto una portata cosmologica: «L’energia dell’universo è costante. L’entropia dell’universo evolve verso un massimo». Siamo dinnanzi, come dice Prigogine, alla prima formulazione di una cosmologia evolutiva. Con l’entropia il secondo principio della termodinamica assumeva una portata universale, che faceva intravedere uno stato di morte immodificabile della materia. «Non solo, dunque, l’universo aveva una storia, ma questa storia aveva una fine drammatica. L’ottimismo progressista della scienza ufficiale si ribellò, e si ribellò con una violenza pari a quella che aveva caratterizzato le critiche all’opera di Darwin, apparsa pochi anni prima. Una scienza che costituiva l’orgoglio del secolo, e che cercava una conciliazione con la religione, non poteva ammettere che le conseguenze dei modelli probabilistici giungessero a tanto: come scrisse il grande fisico Loschmidt nel 1876, era necessario respingere il “terroristische Nimbus” che la scienza di Clausius e di Boltzmann agitava di fronte all’umanità»[7].  Ma quello agitato da Boltzmann era realmente un “terrorische Nimbus” oppure, almeno nelle sue intenzioni, doveva essere un ritorno al sogno di Laplace?

Di certo Boltzmann è un eroe tragico della fisica moderna, a cavallo fra due secoli ma anche fra due paradigmi: incompreso ed osteggiato tanto dai fisici conservatori, per avere introdotto la statistica nel ferreo causalismo, quanto dai fisici progressisti, perché teso a salvare la spiegazione meccanicistica della natura, non apprezzato nemmeno dal concittadino Ernst Mach, perché non rimaneva vincolato al criterio dell’osservabilità. Alcuni riconoscimenti, benché postumi, gli vennero da due viennesi che si dolsero di non avere avuto la fortuna di essere stati suoi allievi: Ludwig Wittgenstein ed Erwin Schrödinger. Quest’ultimo affermò: «Pochi mesi prima che iniziassi a frequentare, nell’autunno 1906, l’Università di Vienna […] Ludwig Boltzmann, a Duino, andava incontro alla sua tragica fine. […] Niente nell’ambito delle ricerche fisiche mi sembrò cosa di maggior portata delle scoperte di Boltzmann, a dispetto di Max Planck e di Einstein; del resto anche i lavori giovanili di quest’ultimo mostrano quanto egli stesso ne fosse stato affascinato»[8]. Non è casuale che Schrödinger, che alcuni decenni dopo si sarebbe trovato suo malgrado a dover utilizzare la probabilità nella meccanica ondulatoria[9], trovasse le scoperte di Boltzmann di maggiore portata di quelle di due fisici che di certo ebbero maggiore successo e attenzione da parte della comunità scientifica.

Perché le scoperte di Boltzmann suscitarono tante e discordi reazioni?

Dopo Fourier, l’ École Polytechnique aveva tentato di sanare la frattura tra le due fisiche, di riportare il fenomeno del calore all’interno di uno schema classico, con la Teoria Matematica del Calore di Poisson, pubblicata nel 1835. Poisson cercò di riportare la devianza di Fourier all’interno dell’ordine di Laplace, deducendo mediante un calcolo rigoroso i fenomeni di trasmissione del calore. Si trattava di spiegare all’interno di uno schema chiaro e razionale – qui l’aggettivo lapalissiano è d’obbligo – il disordine dei sistemi fisici creati dalla mobilità dovuta al fenomeno del calore. Era possibile assoggettare al calcolo questa estrema mobilità di particelle e molecole? Il metodo che Poisson propose è di grande importanza per la comprensione della teoria di Boltzmann, poiché è un metodo basato sul calcolo delle probabilità. «Il livello di disordine diventava pertanto la fonte stessa della garanzia che, in presenza di numeri grandi di molecole, i processi fisici fossero caratterizzati da valori medi, e fossero quindi matematizzabili in termini probabilistici»[10]. Il primo tentativo rigorosamente matematico di trattare la termodinamica come “il figliuol prodigo”, di farla rincasare sotto l’ala protettiva del newtonismo, era stata fatta. Tuttavia, la maggior parte dei fisici preferiva esorcizzare con l’oblio il problema del calore, perché era evidente che la posizione probabilistica segnasse un distacco dal rigido determinismo della scienza newtoniana, perché la meccanica classica affermava a priori che tanto le traiettorie delle più piccole particelle della materia quanto quelle dei pianeti e dei corpi celesti sono assolutamente determinate, mentre la posizione probabilistica attestava  solo i comportamenti medi degli elementi inseriti in un sistema. Con ciò il sogno di conoscere la natura come la conosceva Dio, attraverso le lenti del determinismo assoluto, era infranto. Ed emergeva sempre più – fra reticenze, scomuniche e malumori – che la natura quale orologio cosmico possedeva lancette impazzite, sulla cui regolarità nessuno era pronto più a scommettere. Le ore che questo orologio batteva logoravano e deformavano, come nei quadri di Salvador Dalì, lo stesso orologio. E quel principio che per non turbare i sogni dei fisici venne dichiarato primo, a dispetto della sua data di formulazione, poteva pur proclamare che l’energia rimane costante, ma non negare che fosse soggetta ad una inarrestabile degradazione. Bisognò accettare che il ciclo ideale di Carnot fosse per l’appunto ideale, e che nella realtà «dobbiamo andare oltre il semplice principio di conservazione dell’energia e trovare una strada per esprimere la distinzione tra gli scambi di energia “utili”, quelli che compensano esattamente una conversione nel corso del ciclo di Carnot, e i flussi “dissipati”, perduti, quelli che non potrebbero essere riportati alla sorgente calda con una inversione del funzionamento del sistema. Questo è  il ruolo della funzione di stato S, l’entropia. Clausius introdusse questa nuova funzione usando la parola greca εντροοπή, che significa precisamente cambiamento od evoluzione»[11].

Si poteva scegliere, a questo punto o di rimanere sonnambuli[12], cioè di continuare a negare l’esistenza di una realtà organizzata e costituita dal tempo, o di fare i conti con il tempo. Nel dibattito della fine del XIX secolo i primi sono rappresentati dagli “atomisti”, che si rifiutavano di rinunciare al complesso di semplificazione ed analisi della fisica newtoniana, i secondi dagli energetisti, che accettavano la tendenza della degradazione dell’energia e reputavano inconciliabile la termodinamica con la meccanica classica. Vi era una terza via: quella di Ludwig Boltzmann. Egli credeva possibile, anzi forse vi vedeva l’unico senso del fare fisica, trovare un modello che unificasse la fisica delle traiettorie con quella termodinamica. In una conferenza tenuta nel 1886[13], Boltzmann motivava così questa unione: «È collegata strettamente con l’atomismo l’ipotesi secondo la quale quegli elementi del mondo corporeo forse non stanno fermi e non formano la materia rimanendo fissi gli uni vicini agli altri, come fanno i mattoni in un muro, ma si trovano in vivace movimento. Anche questa ipotesi, che si definisce termodinamica, è un’opinione fondata saldamente su dati di fatto. La sua formulazione è dovuta al principio di conservazione dell’energia, espresso per la prima volta chiaramente da Robert Mayer. L’energia può prendere tre forme: il movimento visibile dei corpi, quello termico, cioè il movimento delle più piccole parti, infine il lavoro, cioè l’allontanamento di corpi che si attraggono o l’avvicinamento di corpi che si respingono»[14]. Poco dopo, precisava che il sogno di questa conversione totale di lavoro in energia e viceversa, era stato sfatato: «Tuttavia la termodinamica ha affiancato a questo principio generale un secondo, che limita il primo in un modo poco soddisfacente, il cosiddetto secondo principio della termodinamica. Questo si esprime pressappoco come segue: lavoro ed energia cinetica possono essere trasformati l’uno nell’altra o in calore incondizionatamente; viceversa, la riconversione del calore in lavoro o energia cinetica visibile o non è assolutamente possibile o lo è solo in parte. Se il principio sembra già, in questa formulazione, un’appendice scomoda del primo, esso diventa ancora più spiacevole attraverso le sue conseguenze. La forma di energia di cui noi abbiamo bisogno per i nostri fini è sempre quella del lavoro o del movimento visibile. Le semplici oscillazioni termiche ci sgusciano dalle mani, si sottraggono ai nostri sensi, per noi equivalgono alla quiete; quindi la forma termica dell’energia viene denominata talvolta energia dissipata o degradata, cosicché il secondo principio annuncia un costante progredire della degradazione dell’energia finché infine tutte le energie potenziali, che potrebbero ancora compiere lavoro, e tutti i movimenti visibili nell’universo dovrebbero cessare. Tutti i tentativi di salvare l’universo da questa morte termica non hanno avuto successo. E per non suscitare aspettative che io non posso soddisfare, voglio dire subito che anch’io non farò alcun tentativo del genere»[15].

Qual è, allora, il tentativo fatto da Boltzmann? Egli dichiara di aver voluto guardare da un altra angolazione il secondo principio. La nuova angolazione era data dall’approccio statistico. Seguendo le orme di Maxwell utilizzò la teoria della probabilità. Maxwell aveva accettato il metodo statistico come una necessità, senza nascondere la convinzione che tale metodo non uguagliasse la perfezione e l’esattezza del metodo storico (così lui chiamava il metodo classico della dinamica). In uno studio del 1860, Maxwell aveva operato il passaggio – che poi sarà fondamentale nella fisica di Boltzmann – dalla scala macroscopica a quella microscopica dello studio del calore e aveva tenuto conto non solo della velocità media degli atomi ma anche della distribuzione delle loro velocità. Non aveva tuttavia matematizzato con sufficiente precisione questa sua intuizione e la colpa di ciò non può essere attribuita alla sua giovane età (Maxwell aveva 28 anni), perché l’ancora più giovane ventiquattrenne Boltzmann, appena laureato, pubblicò una spiegazione fisica più convincente ed articolata della teoria elaborata da Maxwell (la legge di distribuzione è chiamata infatti “distribuzione di Maxwell-Boltzmann”). Nel passaggio dal macroscopico al microscopico, quindi nell’impossibilità di una osservazione empirica della traiettoria delle particelle e dell’insieme delle loro interazioni, Maxwell aveva optato per discutibili esperimenti mentali quali quello del demone. Maxwell partiva da un postulato del tutto metafisico: il principio di entropia era valido solo per grandi numeri di molecole e non era applicabile alle molecole singole, le quali non dovevano sottostare al caos. Quindi riteneva ipotizzabile l’esistenza di una creatura (il demone) in grado di sorvegliare tutte le traiettorie delle molecole  e di separare le molecole più veloci da quelle meno veloci. Questo era il modo, a dire il vero assai paradossale, in cui la scienza dell’Ottocento cercava di esorcizzare il secondo principio della termodinamica.

Ma la stima che Boltzmann nutrì per Maxwell fu sempre grandissima e ricordò sempre con estremo onore[16] il fatto che questi in una lettera a Stefan, gli avesse comunicato di essere «assai compiaciuto dell’eccezionale lavoro del suo studente». Questa stima si basava anche sull’altra importantissima rivoluzione apportata da Maxwell alla fisica: la teoria del campo elettromagnetico. Questo campo, al pari di atomi e molecole, non era visibile e quindi era un approccio non fenomenologico – ossia anti-machiano – alla fisica che Boltzmann sposò. Ma c’era altro: aldilà dei proponimenti del suo ideatore (per una vichiana eterogenesi dei fini) il campo elettromagnetico operava una svolta nel modo di intendere lo spazio fisico, che appariva – ben al di là della consapevolezza del suo stesso teorico –  non più come un assoluto in cui si situavano semplici centri inestesi di forza, ma come ambiente modificato dall’interazione complessa delle strutture che in esso erano localizzate[17].

Con più convinzione di Maxwell, quindi, Boltzmann può essere considerato il fondatore della meccanica statistica, il cui fine era quello «di gettare un ponte ideale, di stabilire un collegamento concettuale e logico tra le proprietà e i comportamenti dei sistemi fisici macroscopici e le leggi fondamentali cui soddisfano le subunità elementari, che sono alla base della loro struttura granulare»[18]. Connettere macrofisica e microfisica suscitava però diversi problemi: in primo luogo i movimenti atomici erano caotici, continuamente in collisione tra loro; gli atomi accelerano, rallentano, cambiano direzione, in modo apparentemente imprevedibile. Tuttavia, essi conservano una distribuzione media di velocità che segue una formula semplice e invariabile: la distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Il primo problema era coniugare  la casualità e l’imprevedibilità dominanti sulla scala dei singoli atomi e il livello globale all’ordine; in secondo luogo, i movimenti delle molecole elementari erano considerati  soggetti alle leggi meccaniche classiche, quindi reversibili rispetto al tempo, mentre i processi macroscopici descritti dalla termodinamica erano irreversibili. Il secondo problema era domandarsi se l’irreversibilità fosse o meno ineludibile.

Boltzmann affrontò il primo dei due problemi nel 1872[19], il secondo nel 1877[20]. Nella prima memoria, Boltzmann dimostrava un’equazione, in seguito chiamata equazione di trasporto di Boltzmann. Tenendo conto dell’impossibilità di seguire il moto di ciascuno degli atomi (consideriamo che anche un piccolo volume di gas ne contiene trilioni), Boltzmann fece appello a strumenti matematici molto complicati ma soprattutto, come nota Lindley, alla sua fiducia che una soluzione doveva comunque essere possibile. La fede di Boltzmann – perché a cavallo tra Ottocento e Novecento si comprende che i fisici avessero una fede profonda e spesso irrazionale in postulati meta-fisici – era l’esistenza di atomi che obbedissero pedissequamente alle leggi della meccanica newtoniana. Una fede ancora più profonda che questo movimento di trilioni e trilioni di atomi, apparentemente caotico, in realtà fosse intelligibile e quindi prevedibile.

La storia personale di Ludwig Boltzmann e quella della fisica ci insegnano quanto tragica fosse questa fede del fisico austriaco. «Egli si stava avventurando in una giungla matematica oscura e intricata, e procedeva lentamente e faticosamente, sostenuto soltanto dalla convinzione che più avanti, da qualche parte, ci fosse una vetta dall’alto della quale si sarebbe potuto contemplare l’intero panorama»[21].

Il metodo elaborato da Boltzmann si fondava su un momentaneo ed ipotetico “congelamento” di quel fuoco termodinamico: egli immaginò di prendere un certo volume di gas e di congelarlo per un istante. Attraverso l’imposto immobilismo, si sarebbe potuto cogliere ogni atomo in un determinato stato di moto, scrivere un catalogo matematico degli atomi (ad ognuno dei quali venivano assegnate velocità e direzione), quindi scongelare, fare collidere gli atomi e poi ricongelare. Il catalogo matematico degli atomi risulterebbe modificato, quindi se ne dovrebbe scrivere un secondo. L’idea, ed era una paradossale fatica di Sisifo, era quella di analizzare le modifiche istante per istante del catalogo degli atomi, per poi comprendere se ne emergeva una regolarità che potesse venir ratificata dalla formulazione di una legge. Era chiaro che questo catalogo non poteva essere effettuato atomo per atomo ed istante per istante, ma si poteva utilizzare un metodo statistico. Boltzmann non fu probabilmente del tutto consapevole dei risvolti epistemologici che l’ingresso della statistica in fisica comportava; egli la utilizzava come una tecnica matematica e il suo ideale, come abbiamo visto, non si discostava affatto da quello newtoniano.

Non la prese così la maggior parte dei fisici. Anche coloro che si interessavano di problemi analoghi e che avevano stimolato Boltzmann (Clausius e Maxwell) non seguirono la sua strada; Maxwell addirittura affermò di non capirla. La matematica utilizzata da Boltzmann era molto più complicata e sofisticata di quella usata dai suoi predecessori e gli vennero mosse molte accuse di essere incomprensibile. Peter Guthrie Tait, ad esempio, disse che la matematica nelle sue mai diventava un “gioco di simboli”, “Una terrificante armata di algoritmi”.

Quella che oggi viene chiamata H[22] era una grandezza numerica definita in termini di distribuzione delle velocità degli atomi, qualsiasi forma tale grandezza potesse assumere. Quando gli atomi raggiungevano una distribuzione Maxwell-Boltzmann la grandezza H assumeva il valore minimo possibile. Altri atomi che avevano un valore H superiore a tale minimo avrebbero modificato attraverso le collisioni la propria distribuzione di velocità fino a far diminuire il valore H e a riportarlo a quella corrispondente alla distribuzione Maxwell-Boltzmann. Con il teorema H  Boltzmann credeva di essere riuscito a provare definitivamente  che la distribuzione Maxwell-Boltzmann fosse l’unica esatta descrizione di un insieme di atomi che tendono all’equilibrio e che qualsiasi altra distribuzione di velocità si sarebbe evoluta fino a raggiungere la forma della distribuzione Maxwell-Boltzmann. «In effetti, come Boltzmann era ansioso di credere, la sua grandezza H era, a quanto sembrava, esattamente ciò che gli occorreva come definizione cinetica dell’entità che Clausius chiamava entropia. Tutto ciò che doveva fare era di metterle davanti un segno meno. In tal modo H raggiungeva un massimo all’equilibrio termico, era minore di tale valore per qualsiasi altra distribuzione, e partendo da qualunque altro valore evolveva in modo naturale verso l’equilibrio. Questo era il comportamento dell’entropia: qualunque fosse il suo valore essa aumentava fino a raggiungere il valore massimo possibile, che corrispondeva all’equilibrio termico.  H era proprio la definizione cinetica dell’entropia, dichiarò Boltzmann, e il suo teorema-H mostrava che il misterioso secondo principio della termodinamica, il quale afferma che l’entropia deve sempre aumentare, era esso stesso conseguenza  dei principi elementari della meccanica, applicati alle collisioni degli atomi. Il teorema-H sembrava fornire una semplice spiegazione cinetica della termodinamica»[23]. In termini matematici, con quella che Tait definiva la “terribile armata di algoritmi”, il teorema-H si scrive così:

 

H = ∫ f ln f

 

f dω è la funzione di distribuzione delle velocità molecolari al tempo generico t  e l’integrale è esteso a tutti i valori delle tre componenti delle velocità, di modo che H sia funzione del solo tempo t. Il teorema afferma quindi che a causa degli urti molecolari, al variare di H col tempo, la sua derivata rispetto al tempo, dH/dt è sempre nulla. Quindi H non può mai mutare. Inoltre che esiste un valore minimo stazionario di H, che si mantiene sempre, una volta raggiunto, indipendentemente dal tempo. Tale valore minimo è assunto da H solo quando la distribuzione f delle velocità molecolari è la legge di distribuzione di Maxwell.

Non mi addentrerò nelle molte critiche che il teorema-H ha suscitato, rimandando alla già citata opera di Mario Ageno e a quella di Thomas Kuhn[24], ma mi limiterò ad evidenziare da una parte il carattere tautologico di tale teorema, che in effetti si limitava a mostrare che data una condizione iniziale H diminuiva, ma aumentava a partire da una certa altra condizione iniziale, quindi nulla permetteva di qualificare una cosa come più probabile dell’altra. In parole spicciole la grandezza H era valida solo a partire dalla distribuzione Maxwell-Boltzmann, la quale a sua volta era definita legge universale in base al comportamento della grandezza H.

Il problema ancora più insidioso è poi determinato dal tipo di gas a cui Boltzmann fa riferimento per dimostrare il teorema-H. Ci troviamo ancora una volta davanti alla difficile conciliazione fra lo schema e la realtà. Il gas a cui Boltzmann si riferisce è un gas ideale, le cui molecole sono sferette perfettamente elastiche e indeformabili. Inoltre il recipiente contenente il gas viene supposto dalle pareti perfettamente lisce, elastiche e indeformabili. In realtà, egli non mostrò mai l’esistenza di una analogia fra il suo modello ed un gas reale. «Lo assume intuitivamente (ma l’intuizione, di fronte a sistemi  molto complicati, può anche giocare spiacevoli scherzi)»[25]. Uno “spiacevole scherzo” è anche dato da un’altra intuizione su cui poggia il teorema-H: l’effettiva – non quella schematizzata – distribuzione delle molecole nel recipiente che contiene il gas. Il dato di partenza del teorema è che il gas è molecolarmente disordinato, ma si immagina questo disordine uniforme, cioè si immagina che il numero di molecole per unità di volume debba essere ovunque lo stesso, in qualsiasi parte del recipiente. Ciò è un presupposto arbitrario e in ogni caso, come sottolinea Mario Ageno, è una ipotesi di schematizzazione che avrebbe dovuto essere resa esplicita: «Il gas-modello di Boltzmann è un sistema granulare, cioè essenzialmente discontinuo. Supporre che la densità sia la stessa in tutti i punti del recipiente significa sostituire al numero n di molecole, effettivamente presenti al tempo t in una qualsiasi regione ΔV del recipiente, un numero medio […]indipendente dal tempo. Con ciò il modello diventa incapace di descrivere un aspetto molto importante del comportamento di un gas “reale”, quelle ineliminabili fluttuazioni locali di densità, […] che sono una chiave per capire la natura fisica del sistema»[26].

Insomma, il sistema ideato da Boltzmann, era un sistema lontano dal comportamento reale di qualsiasi gas, basato su una ipotesi fortemente deterministica, cioè che il gas passi da un microstato all’altro senza possibilità di scelte alternative, in modo rigorosamente prevedibile. Le critiche più puntuali furono quelle di Maxwell e di Loschmidt, che – per vie differenti – puntarono al medesimo punto: il teorema-H riusciva a dimostrare l’inevitabilità del fenomeno entropico oppure poteva solamente attestare che  la disorganizzazione entropica era solo altamente più probabile? Era precisamente il punto cui voleva giungere Maxwell con la fantasiosa ipotesi del diavoletto, cioè non eliminare a priori la possibilità che il flusso del calore potesse avvenire in direzione inversa a quella enunciata da Fourier.

Se da un punto di vista ‘cosmologico’ questa interpretazione del teorema di Boltzmann poteva risultare consolatorio, poiché destituiva il secondo principio del valore di legge assoluta, da un punto di vista epistemologico perdeva la forza probante di una dimostrazione, per divenire una descrizione di ciò che “per il maggior numero dei casi” le molecole fanno. Il punto fondamentale, comunque, per comprendere l’isolamento di Boltzmann dalla comunità scientifica  era che «l’idea di una funzione matematica che rappresentasse non lo specifico stato effettivo di un gran numero di atomi, ma la probabilità che essi si trovassero in questo o quello stato, costituiva un concetto strano e sfuggente. L’idea, poi, di cercare di comprendere l’effetto prodotto su questa descrizione statistica da collisioni a loro volta valutate in media statistica era, per molti fisici dell’epoca, bizzarra al limite dell’incomprensibilità»[27]. In una lettera a Tait, Maxwell espresse così la sua opinione sul teorema-H: «Studiando Boltzmann non sono riuscito a comprenderlo. Lui non è riuscito a capire me a causa della mia concisione, e la sua prolissità era ed è per me un ostacolo altrettanto insuperabile. Perciò sono decisamente propenso a unirmi alla gloriosa compagnia degli usurpatori e a liquidare l’intera questione in circa sei righe»[28].

La questione effettivamente, anche dopo le obiezioni di Loschmidt e le contro obiezioni di Boltzmann, rimase sospesa e la conclusione che la comunità scientifica ne trasse era in effetti quella più conveniente per i tempi, ossia che la teoria cinetica di Boltzmann aveva attestato che potevano esserci occasionali esempi di sistemi naturali in cui il secondo principio della termodinamica fosse contraddetto e ciò era di certo musica per le orecchie dei fisici “conservatori”. Non per questo la figura di Boltzmann venne acclamata, perché il suo teorema era comunque inesatto: se era preso alla lettera, dimostrava che il secondo principio della termodinamica non era necessariamente vero, quindi non poteva essere considerato una legge; se veniva invece avvertita la necessità di modificare alcuni tratti del teorema, ci si discostava dalla possibilità di spiegare interamente la termodinamica con le leggi della meccanica. Insomma, la sua posizione non era comunque quella di un trionfatore. Lo stesso Boltzmann, come mostra Kuhn, modificò il proprio punto di vista sul teorema –H, in quanto nel 1872 aveva ancora in mente un risultato deterministico del suo teorema e solo nel corso dei dieci anni successivi – anche in virtù delle critiche di Loschmidt – egli giunse alla consapevolezza del significato epistemologico dell’applicazione della statistica alla meccanica. Solo dal 1894 in poi, come si evince dalla lettura del primo volume della Teoria dei gas, Boltzmann ebbe qualche “barlume” delle implicazioni non strettamente deterministiche del suo procedimento fisico, ma tale presa di coscienza si trovava mescolata alla fede incrollabile nel meccanicismo.

Ad affondare completamente l’importanza del teorema-H, arrivò Mach il quale – partendo da una assoluta opposizione alla teoria atomica – ebbe comunque facile gioco nel mostrare che il teorema di Boltzmann voleva spiegare appellandosi ad entità e proprietà invisibili quelle leggi della termodinamica già note e che comunque fungevano da base dello stesso ragionamento di Boltzmann. La circolarità era palese. Mach voleva ovviamente portare acqua al suo mulino, mostrando che l’obiettivo dei fautori della teoria cinetica (coniugare termodinamica e meccanica) era fallito, e quindi la presunta utilità dell’utilizzo della teoria atomica non era dimostrata. Vi era un altro fisico, però, che scorse nel teorema di Boltzmann qualcosa di prezioso. Lo scorse con quell’attenzione che spesso solo i geni rintracciano in particolari che agli altri sembrano inessenziali. Costui era Max Planck, che a differenza degli altri fisici, non si soffermò sul problema della statistica, della diminuizione o meno della grandezza H, ma su un espediente matematico usato da Boltzmann: «Dobbiamo ammettere che le nostre molecole non sono in grado di accettare una successione continua di forze vive, ma solo quelle forze vive che sono multiple di una determinata grandezza ε»[29]. Boltzmann presupponeva che gli unici livelli di energia molecolare trasferite fossero multipli di ε (quindi 2ε, 3ε, ecc…) e dichiarava che era sì un’ipotesi incredibile, ma lui la utilizzava solo come artificio matematico. Plank non lo trovò affatto incredibile e l’idea che l’energia fosse stata considerata da Boltzmann come un discreto, sarà un prezioso “suggerimento” – come lui stesso esplicitamente riferiva – per la sua memoria del 1900 sulla costante h, che segnerà l’atto di nascita della meccanica quantistica[30].

Tuttavia, come mostra Thomas Kuhn nell’opera che ricostruisce la formazione di Planck[31], fino agli ultimi anni del secolo lo stesso Planck ebbe una conoscenza frammentaria  della teoria di Boltzmann, e questa fu quindi accolta  come una stravaganza matematica. Egli però continuò a lavorare ostinatamente nella direzione che le critiche di Maxwell e Loschmidt gli avevano indicato, quantificando l’improbabilità della violazione del secondo principio della termodinamica. L’ostinazione di Boltzmann si basava sul fatto che egli non voleva rinunciare alla meccanica newtoniana, tuttavia optò per una matematica differente, basata sul calcolo delle probabilità e non sulle equazioni differenziali. Il risultato di cinque lunghi anni di riflessioni e aggiustamenti al suo teorema-H sono riassumibili nell’equazione che rappresenta il punto culminante della produzione scientifica di Boltzmann[32]:

 

S = k log W

 

Questa equazione, formulata nel 1877 e che prenderà il nome di equazione di Boltzmann, afferma che l’entropia (S) di qualsiasi distribuzione di atomi è proporzionale al logaritmo (log) del numero dei possibili modi in cui può essere ottenuta una tale distribuzione di atomi nelle celle (W). Essa è un’evoluzione della grandezza H, da cui si differenzia perché mentre quella prendeva in considerazione le costanti collisioni degli atomi, questa parte dalla divisione del contenitore in celle, per poi contare come si suddividessero gli atomi in tali celle. Ogni atomo aveva, inoltre, una quantità fissa di energia. Boltzmann iniziò ad analizzare in che modo gli atomi si distribuivano nelle caselle, attestando l’improbabilità che tutti gli atomi finissero nella stessa cella. La distribuzione più probabile era sempre quella definita dalla formula Maxwell-Boltzmann e «l’equilibrio termico, nella nuova analisi di Boltzmann, si presentava semplicemente come la suddivisione più probabile di una quantità fissa di energia tra un numero fisso di atomi. Ma c’era di più. Con lo stesso metodo Boltzmann riuscì a calcolare la probabilità di qualsiasi distribuzione, non importa quanto peculiare di atomi nelle celle. Quanto più vicina la configurazione era a quella ottimale, di equilibrio, tanto più era probabile; quanto più ne era lontana, tanto meno era probabile. Qui c’era un’altra connessione con l’entropia, che misura quanto prossima una distribuzione sia all’equilibrio»[33]. Nel 1877, Boltzmann non conosceva il valore preciso della grandezza k, e lo formulò quale relazione di proporzionalità fra S e logW, oggi quella che si chiama costante di Boltzmann kB è stimata  1.381X10-23 JK-1.

L’importanza di tale formula è che essa lega l’entropia al caos; Atkins[34] la considera «una delle formule più straordinarie mai scritte» poiché collega per la prima volta il mondo dell’esperienza diretta (S) al mondo atomico dei meccanismi di base (W).

È opportuno precisare che ci troviamo anche qui, come per la formulazione del 1872, davanti ad una schematizzazione sì rigorosa ma che dà per scontati presupposti che scontati non sono. Il ragionamento di Boltzmann era di tipo probabilistico: un gas che si porta verso l’equilibrio  esplora tutte le possibilità aperte di distribuzione e finisce per passare la maggior parte del tempo nella disposizione più probabile. «Il presupposto implicito e piuttosto sottile è che il gas obbedisca  effettivamente a una specie di legge delle pari opportunità, percorrendo gli stati possibili per determinare in quale classe  di stati un certo volume di gas passerà la maggior parte del tempo. Questo assunto cruciale, che tutti gli stati di un gas abbiano uguali probabilità di essere visitati mentre gli atomi si muovono e collidono, fa scomparire  tutte le complesse ma essenziali questioni di meccanica. Il modo in cui gli atomi passano da uno stato globale a un altro è fondamentalmente una questione di meccanica: proprio quella che Boltzmann aveva affrontato nel formulare il teorema-H.  Ora egli metteva da parte tutte quelle complicazioni e ammetteva semplicemente che le configurazioni degli atomi avrebbero assunto indifferentemente tutti gli stati a esse permessi. Questa legge delle pari opportunità aveva l’aria di un’idea abbastanza plausibile, ma era difficile da formulare con precisione, e ancor più da analizzare teoricamente»[35].

Il concetto di entropia poggiava sul caso e sulla probabilità ed è interessante notare che questo schematismo boltzmanniano influenzò le tavole di verità wittgensteiniane nel Tractatus logico-philosophicus, in cui la logica era immaginata come il campo di tutte i possibili stati di cose che potevano verificarsi[36]. È più esatto sostenere che Wittgenstein tradusse la fisica di Boltzmann in logica oppure che era già quella di Boltzmann un griglia logica più che fisica?

 

[1] E. Morin, Il metodo 1. La natura della natura, tr. di G. Bocchi e A. Serra, Raffaello Cortina Editore, Milano 2001, p. 35.

[2] Il riferimento è a quello che avrebbe dovuto essere il titolo originario di Autodafè di Elias Canetti: Kant prende fuoco. Cfr. E. Canetti, Das erste Buch: Die Blendung, in E. Canetti, Das Gewissen der Worte-Essays, Carl Hanser Verlag, München-Wien 1976; in traduzione il saggio si trova come post-fazione a E. Canetti, Auto da fè, tr. di L.e B. Zagari, Adelphi, Milano1999, pp. 535-548.

[3] R. Musil, L’uomo senza qualità, tr. di A. Rho, Einaudi, Torino 1972, p. 450.

[4] G. Gembillo, Le polilogiche della complessità, Le Lettere, Firenze 2008, p. 94.

[5] Su questo punto si cfr. I. Prigogine – I. Stengers, La nuova alleanza. Metamorfosi della scienza, a cura di P. D. Napolitani, Einaudi, Torino 1993.

[6] I. Prigogine – I. Kondepudi , Termodinamica, tr. di F. Ligabue, Bollati Boringhieri, Torino 2002, p. XVI.

[7] E. Bellone, I modelli e la concezione del mondo nella fisica moderna da Laplace a Bohr, Feltrinelli, Milano 1973, p. 70.

[8] E. Schrödinger, La mia vita, in La mia visione del mondo, tr. di B. Bertotti, Garzanti, Milano 1987, p. 110.

[9] Fu Max Born, infatti, ad osservare che la funzione d’onda era soltanto una misura della probabilità di trovare in un determinato esperimento l’elettrone in una determinata posizione. Su ciò rimando al cap. 3 § 2.

[10] E. Bellone, I modelli e la concezione del mondo nella fisica moderna da Laplace a Bohr, cit., p. 50.

[11] I. Prigogine – I. Stengers, La nuova alleanza. Metamorfosi della scienza, cit., p. 125.

[12] Il riferimento è al bel libro di A. Koestler, I sonnambuli. Storia delle concezioni dell’universo, tr. di M. Giacometti, Jaca Book, Milano 2002.

[13] Alla Kaiserliche Akademie der Wissenschaften.

[14] L. Boltzmann, Il secondo principio della teoria meccanica del calore, in Modelli matematici fisica e filosofia. Scritti divulgativi, tr. di A. Cercignani, Bollati Boringhieri, Torino 1999, p. 34.

[15] Ivi, p. 35.

[16] Sui ricordi autobiografici e altre informazioni sulla vita di Boltzmann, rimando a D. Lindley, Gli atomi di Boltzmann, tr. di T. Cannillo, Bollati Boringhieri, Torino 2002.

[17] Del resto né Ernst Mach né Albert Einstein, nelle loro ricostruzioni storiografiche e affrontando il problema dello spazio, riconobbero nella teoria del campo elettromagnetico di Maxwell un distacco  fondamentale dalla concezione newtoniana di spazio.

[18] M. Ageno, Le origini della irreversibilità, Bollati Boringhieri, Torino 1992, p. 22.

[19] L. Boltzmann, Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen, in «Kaiserliche Akademie der Wissenschaften zu Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse. Sitzungsberichte», vol. 66, 1872, p. 275.

[20] L. Boltzmann, Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht, in K.A. Wien, vol. 76, 1877, p. 373.

[21] D. Lindley, Gli atomi di Boltzmann, cit., p. 71.

[22] Sembra che in realtà il teorema si chiami in tal modo per un banale errore di un fisico inglese che scambiò, in uno degli articoli di Boltzmann, una E maiuscola in carattere gotico per una H.

[23] D. Lindley, Gli atomi di Boltzmann, cit., p. 96. Per un’analisi matematica dettagliata del teorema-H, cfr. M. Ageno, Le origini della irreversibilità, cit., pp. 44-92.

[24] T. Kuhn, Alle origini della fisica contemporanea. La teoria del corpo nero e la discontinuità quantica,   tr. di S. Scotti, Il Mulino, Bologna 1981, capitolo secondo.

[25] M. Ageno, Le origini dell’irreversibilità, cit., p. 27.

[26] Ivi, p. 57.

[27] D. Lindley, Gli atomi di Boltzmann, cit., p. 72.

[28] Citato in C.G. Knott, Life and Work of Peter Guthrie Tait, Cambridge University Press, New York 1911, p. 114.

[29] L. Boltzmann, Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht, cit. in E. Bellone, I modelli e le concezioni del mondo, cit., p. 87.

[30] Sull’eredità della statistica boltzmanniana nel’opera di Planck, si cfr. T. S. Kuhn, Alle origini della fisica contemporanea. La teoria del corpo nero e la discontinuità quantica,   cit., pp. 87-168. Lindley dichiara che Boltzmann può a ragione essere considerato «un nonno della teoria dei quanti»; cfr. D. Lindley, Gli atomi di Boltzmann, cit., p. 201..

[31] Ibidem, p. 55.

[32] Non a caso essa è stata incisa sulla sua tomba, allo Zentralfriedhof di Vienna.

[33] D. Lindley, Gli atomi di Boltzmann, cit., p. 111.

[34] Cfr. P. W Atkins, Il secondo principio, tr. di M. Silari, Zanichelli, Bologna 1988, p. 75.

[35] Ivi, p. 113.

[36] Cfr. L. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, tr. di A. G. Conte, Einaudi, Torino 1995, 4.31; 4.442; 5.101. Sull’influenza di Boltzmann nel pensiero di Wittgenstein, mi permetto di rimandare a D. Donato, I percorsi di Wittgenstein, Rubbettino, Soveria Mannelli 2006, cap. 2.

 

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